Question

如图所示，将矩形沿折叠，使点恰好落在上处，以为边作正方形，延长至，使，再以、为边作矩形．

(1). （2分）试比较、的大小，并说明理由．

(2). （1分）令，请问是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由．为定值．

 (3). （3分）在（2）的条件下，若为上一点且，抛物线经过、两点，请求出此抛物线的解析式．

 (4). （4分）在（3）的条件下，若抛物线与线段交于点，试问在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1），理由如下：

由折叠知：   在中，为斜边 

故

（2）

（3），，

为等边三角形，

作于．      

  的坐标为

抛物线过点，，

所求抛物线解析式为

（4）由（3）：

当时，

方法1：若与相似，

而．则分情况如下

时    为或

时    为或（0，1）

故直线与轴交点的坐标为或或或（0，1）

方法2：与相似时，由（3）得则或，

过点作垂直轴于则或

当时，

当  ，

，

【解析】略