Question

（本题满分7分）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4,2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx²-(3m+k)x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值.

Answer

解：过B作BE⊥AD于E，连接OB、CE交于点P，

∵P为矩形OCBE的对称中心，则过点P的直线平分矩形OCBE的面积．

∵P为OB的中点，而B（4，2），

P点坐标为（2，1），

在Rt△ODC与Rt△EAB中，OC=BE，AB=CD，

Rt△ODC≌Rt△EAB（HL），△ODC≌Rt△EBA，

过点（0，-1）与P（2，1）的直线平分等腰梯形面积，这条直线为y=kx-1．

2k-1=1，则k=1．

∵关于x的函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象与坐标轴只有两个交点，

∴①当m=0时，y=-x+1，其图象与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；

②当m≠0时，函数y=mx2-（3m+1）x+2m+1的图象为抛物线，且与y轴总有一个交点（0，2m+1），

若抛物线过原点时，2m+1=0，

即m=- 12，此时，△=（3m+1）2-4m（2m+1）=（m+1）2＞0，

故抛物线与x轴有两个交点且过原点，符合题意．

若抛物线不过原点，且与x轴只有一个交点，也符合题意．

综上所述，m的值为m=0或- 12．

【解析】略