、(本题12分)如图,设抛物线C1:,
C2:,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是-2.
1.(1)求的值及点B的坐标;
2.(2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2),求点N的横坐标;
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
答案:
1.解:(1)∵ 点A在抛物线C1上,∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) .
2.
(2)①如图1,
∵ M(1, 5),D(1, 2), 且DH⊥x轴,∴ 点M在DH上,MH=5.
过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1,
∴ ME=4. 设N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,
由△MEG∽△MHN,得 ,
∴ , ∴ ,
∴ 点N的横坐标为.
② 当点D移到与点A重合时,如图2,
直线与DG交于点G,此时点N的横坐标最大.
过点G,M作x轴的垂线,垂足分别为点Q,F, 设N(x,0),
∵ A (2, 4), ∴ G (, 2),
∴ NQ=,NF =, GQ=2, MF =5.
∵ △NGQ∽△NMF,
∴ ,
∴ ,
∴ .
当点D移到与点B重合时,如图3,直线与DG交于点D,即点B,
此时点N的横坐标最小.
∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4),
设N(x,0),
∵ △BHN∽△MFN, ∴ ,
∴ , ∴ . ∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤且x≠0.
【解析】略