Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

1.（1）观察：①如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”）；

②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK______MK（只填“＞”或“＜”）；

2.（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK______MK（填“＞”，“＜”或“=”），并说明理由；

3.（3）如果MK²+CK²=AM²，请直接写出∠CDF的度数和的值．

Answer

1.（1）① =  ………………………………………………………………………2分

② ＞   ………………

2.（2）

＞………………………………………………………………………………………2分

理由：作点C关于FD的对称点G，

连接GK，GM，GD，

则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，

∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．

∵30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，

∠ADM+∠CDK =60°．

∴∠ADM=∠GDM，………………………………………………………………………3分

∵DM=DM，

∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．

∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．………………

3.由（2），得GM=AM，GK=CK，

∵MK2+CK2=AM2，∴MK2+GK2=GM2，∴∠GKM=90°，

又∵点C关于FD的对称点G，∴∠CKG=90°，∠FKC=∠CKG=45°，

又有（1），得∠A=∠ACD=30°，∴∠FKC=∠CDF+∠ACD，∴∠CDF=∠FKC-∠ACD=15°，

在Rt△GKM中，∠MGK=∠DGK+∠MGD=∠A+∠ACD=60°，∴∠GMK=30°，

∴ =∴=

【解析】略