Question

(本题12分)已知二次函数的图象如图所示．

1.（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；

2.（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；

3.（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

4.（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．

Answer

1.（1）y=a（x+1）（x﹣2），∵﹣2=a×1×（﹣2），∴a=1，∴y=x2﹣x﹣2，其顶点坐标是（，﹣）

2.（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，﹣t），

则0=2k+b，﹣，解它们组成的方程组得：k=，b=﹣3，

所以线段BM所在的直线的解析式为：y=x﹣3，N点纵坐标为：﹣t，

∴﹣t=h﹣3，∴h=2﹣t，其中，∴s=（2+t）（2﹣t）=﹣t2+t+3，

∴s与t间的函数解析式为：s=﹣t2+t+3，自变量的取值围是：；

3.（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（，），P2（）．

设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2﹣m﹣2，PA2=（m+1）2+n2,PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，

分以下几种情况讨论：（ⅰ）若∠APC=90°则AC2=PC2+AP2．可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，解得：，m2=﹣1（舍去）．所以点．（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2∴n=m2﹣m﹣2（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5解得：，m4=0（舍去）．所以点P2（，﹣）．

（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能直角

4.（4）P1（﹣1，﹣2）或P2（﹣），（，﹣）

【解析】略