Question

（本题12分） 如图，抛物线y=ax²＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）。点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行。直线y=－x＋m过点C，交y轴于D点.

⑴求抛物线的函数表达式；

    ⑵点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于      点G，求线段HG长度的最大值；

⑶在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

Answer

解：（1）设抛物线的函数表达式为y=a（x-1）（x+3）

∵抛物线交y轴于点E（0，-3），将该点坐标代入上式，得a=1

∴所求函数表达式为y=（x-1）（x+3），

即y=x2+2x-3；

（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点A坐标（-3，0），点B坐标（1，0），

∴点C坐标（5，0），

∴将点C坐标代入y=-x+m，得m=5，

∴直线CD的函数表达式为y=-x+5，

设K点的坐标为（t，0），则H点的坐标为（t，-t+5），G点的坐标为（t，t2+2t-3），

∵点K为线段AB上一动点，

∴-3≤t≤1，

∴HG=（-t+5）-（t2+2t-3）=-t2-3t+8=-（t+ ）2+ ，

∵-3＜- ＜1，

∴当t=- 时，线段HG的长度有最大值 ；

（3）∵点F是线段BC的重点，点B（1，0），点C（5，0），

∴点F的坐标为（3，0），

∵直线l过点F且与y轴平行，

∴直线l的函数表达式为x=3，

∵点M在直线l上，点N在抛物线上，

∴设点M的坐标为（3，m），点N的坐标为（n，n2+2n-3），

∵点A（-3，0），点C（5，0），

∴AC=8，

分情况讨论：

①若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的边，则需MN∥AC，且MN=AC=8．

当点N在点M的左侧时，MN=3-n，

∴3-n=8，解得n=-5，

∴N点的坐标为（-5，12），

当点N在点M的右侧时，MN=n-3，

∴n-3=8，

解得n=11，

∴N点的坐标为（11，140），

②若线段AC是以点A、C，M、N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称，取点F关于点B的对称点P，则P点坐标为（-1，0）

过P点作NP⊥x轴，交抛物线于点N，

将x=-1代入y=x2+2x-3，得y=-4，

过点N，B作直线NB交直线l于点M，

在△BPN和△BFM中，

∠NBP=∠MBF，

BF=BP，

∠BPN=∠BFM=90°，

∴△BPN≌△BFM，

∴NB=MB，

∴四边形ANCM为平行四边形，

∴坐标（-1，-4）的点N符合条件，

∴当N的坐标为（-5，12），（11，140），（-1，-4）时，以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．

【解析】略