Question

（本题10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，以点C为圆心，CB为半径的弧交CA于点D；以点A为圆心，AD为半径的弧交AB于点E．

（1）求AE的长度；

   （2）分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点F（F与C在AB两侧），连接AF、EF，设EF交弧DE所在的圆于点G，连接AG，

    ① 求证：△AEG∽△FEA；

    ② 试猜想∠EAG的大小，并说明理由．

Answer

解：（1）在Rt△ABC中，由AB＝1，BC＝得 AC＝＝

       ∵BC＝CD，AE＝AD

        ∴AE＝AC－AD＝．

  （2）∠EAG＝36°，理由如下： ∵FA＝FE＝AB＝1，AE＝

      ∴＝∴△FAE是黄金三角形∴∠F＝36°，∠AEF＝72°

      ∵AE＝AG，FA＝FE∴∠FAE＝∠FEA＝∠AGE∴△AEG∽△FEA

      ∴∠EAG＝∠F＝36°．

【解析】略