Question

（本小题满分12分）

如图（1），△ABC与△EFD为等腰直角三角形，AC与DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，将△EFD绕点A 顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止。不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE、DF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图（2）。

1.（1）问：始终与△AGC相似的三角形有        及        ；

2.（2）设CG＝x，BH＝y，求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；

3.（3）问：当x为何值时，△AGH是等腰三角形？

Answer

1.（1）△HGA及△HAB；（2分）

2.（2）由（1）可知△AGC∽△HAB，∴，

即，所以 （5分）

3.（3）①当CG＜BC时，∠GAC=∠H＜∠HAC，

∴AC＜CH∵AG＜AC，∴AG＜GH，

又AH＞AG，AH＞GH，此时，△AGH不可能是等腰三角形；

②当CG=BC时，G为BC的中点，H与C重合，△AGH是等腰三角形；

此时，GC=，即x=；

③当CG＞BC时，由（1）可知△AGC∽△HGA，

所以，若△AGH必是等腰三角形，只可能存在AG=AH；

若AG=AH，则AC=CG，此时x=9；（11分）

综上，当x=9或时，△AGH是等腰三角形。（12分）

【解析】略